Матрицей размерности называется таблица чисел , содержащая строк и столбцов. Числа называются элементами этой матрицы, где – номер строки, – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Матрица, содержащая строк и столбцов, имеет вид: .

Виды матриц:

1) при – квадратная , причем называют порядком матрицы ;

2) квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю

– диагональная ;

3) диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны

единице – единичная и обозначается ;

4) при – прямоугольная ;

5) при – матрица-строка (вектор-строка);

6) при – матрица-столбец (вектор-столбец);

7) при всех – нулевая матрица.

Заметим, что основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Определитель, соответствующий матрице -го порядка, также имеет -ый порядок.

Определителем матрицы 1-го порядка называется число .

Определителем матрицы 2-го порядка называется число . (1.1)

Определителем матрицы 3-го порядка называется число . (1.2)

Приведем необходимые для дальнейшего изложения определения.

Минором М ij элемента а ij матрицы n- гопорядка А называется определитель матрицы (n-1)- гопорядка, полученной из матрицы А путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij матрицы n - гопорядка А называется минор этого элемента, взятый со знаком .

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков и упрощающие их вычисление.

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий две пропорциональные (равные) строки (столбца), равен нулю.

4. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой его строки (столбца), предварительно умноженные на любое число.

7. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

Поясним данное свойство на примере определителя 3-го порядка. В данном случае свойство 7 означает, что – разложение определителя по элементам 1-ой строки. Заметим, что для разложения выбирают ту строку (столбец), где есть нулевые элементы, так как соответствующие им слагаемые в разложении обращаются в ноль.

Свойство 7 представляет собой теорему о разложении определителя, сформулированную Лапласом.

8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю.

Последнее свойство часто называют псевдоразложением определителя.

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется матрицей?

2. Какая матрица называется квадратной? Что понимается под ее порядком?

3. Какая матрица называется диагональной, единичной?

4. Какая матрица называется матрицей-строкой и матрицей-столбцом?

5. Что является основной числовой характеристикой квадратной матрицы?

6. Какое число называется определителем 1-го, 2-го и 3-го порядка?

7. Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента матрицы?

8. Каковы основные свойства определителей?

9. С помощью какого свойства можно вычислить определитель любого порядка?

Действия над матрицами (схема 2)

На множестве матриц определен ряд операций, основными среди которых являются следующие:

1) транспонирование – замена строк матрицы на столбцы, а столбцов на строки;

2) умножение матрицы на число производится поэлементно, то есть , где , ;

3) сложение матриц, определенное только для матриц одной размерности;

4) умножение двух матриц, определенное только для согласованных матриц.

Суммой (разностью) двух матриц называется такая результирующая матрица, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Две матрицы называются согласованными , если количество столбцов первой из них равно количеству строк другой. Произведением двух согласованных матриц и называется такая результирующая матрица , что , (1.4)

где , . Отсюда следует, что элемент -ой строки и -го столбца матрицы равен сумме попарных произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -го столбца матрицы .

Произведение матриц не коммутативно, то есть А . В В . А. Исключение составляет, например, произведение квадратных матриц на единичную А . Е = Е . А.

Пример 1.1. Перемножить матрицы A и B, если:

Решение. Так как матрицы согласованные (количество столбцов матрицы равно количеству строк матрицы ), то воспользуемся формулой (1.4):

Вопросы для самопроверки.

1. Какие действия осуществляются над матрицами?

2. Что называется суммой (разностью) двух матриц?

3. Что называется произведением двух матриц?

Метод Крамера решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений (схема 3)

Дадим ряд необходимых определений.

Система линейных уравнений называется неоднородной , если хотя бы один ее свободный член отличен от нуля, и однородной , если все ее свободные члены равны нулю.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел, который, будучи подставленным вместо переменных в систему, обращает каждое ее уравнение в тождество.

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она решений не имеет.

Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.

Рассмотрим неоднородную квадратную систему линейных алгебраических уравнений, имеющую следующий общий вид:

. (1.5) Главной матрицей системы линейных алгебраических уравнений называется матрица, составленная из коэффициентов, стоящих при неизвестных: .

Определитель главной матрицы системы называется главным определителем и обозначается .

Вспомогательный определитель получается из главного определителя путем замены -го столбца на столбец свободных членов.

Теорема 1.1 (теорема Крамера). Если главный определитель квадратной системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Если главный определитель , то система либо имеет бесконечное множество решений (при всех нулевых вспомогательных определителях), либо вообще решения не имеет (при отличии от нуля хотя бы одного из вспомогательных определителей)

В свете приведенных выше определений теорема Крамера может быть сформулирована иначе: если главный определитель системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система является совместной определенной и при этом ; если главный определитель нулевой, то система является либо совместной неопределенной (при всех ), либо несовместной (при отличии хотя бы одного из от нуля).

После этого следует провести проверку полученного решения.

Пример 1.2. Решить систему методом Крамера

Решение. Так как главный определитель системы

отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители

Воспользуемся формулами Крамера (1.6): , ,

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется решением системы уравнений?

2. Какая система уравнений называется совместной, несовместной?

3. Какая система уравнений называется определенной, неопределенной?

4. Какая матрица системы уравнений называется главной?

5. Как вычислить вспомогательные определители системы линейных алгебраических уравнений?

6. В чем состоит суть метода Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений?

7. Какой может быть система линейных алгебраических уравнений, если ее главный определитель равен нулю?

Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы (схема 4)

Матрица, имеющая отличный от нуля определитель, называется невырожденной ; имеющая определитель равный нулю – вырожденной .

Матрица называется обратной для заданной квадратной матрицы , если при умножении матрицы на обратную ей как справа, так и слева, получается единичная матрица, то есть . (1.7)

Заметим, что в данном случае произведение матриц и коммутативно.

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для заданной квадратной матрицы, является отличие от нуля определителя заданной матрицы

Если главная матрица системы оказалась при проверке вырожденной, то для нее не существует обратной, и рассматриваемый метод применить нельзя.

Если главная матрица невырожденная, то есть определитель 0, то для нее можно найти обратную матрицу по следующему алгоритму.

1. Вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы .

2. Выписать найденные алгебраические дополнения в матрицу транспонированно.

3. Составить обратную матрицу по формуле: (1.8)

4. Сделать проверку правильности найденной матрицы А-1 согласно формуле (1.7). Заметим, что данная проверка может быть включена в итоговую проверку самого решения системы.

Система (1.5) линейных алгебраических уравнений может быть представлена в виде матричного уравнения: , где – главная матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов. Умножим это уравнение слева на обратную матрицу , получим:

Так как по определению обратной матрицы , то уравнение принимает вид или . (1.9)

Таким образом, чтобы решить квадратную систему линейных алгебраических уравнений нужно столбец свободных членов умножить слева на матрицу, обратную для главной матрицы системы. После этого следует сделать проверку полученного решения.

Пример 1.3. Решить систему методом обратной матрицы

Решение. Вычислим главный определитель системы

. Следовательно, матрица невырожденная и обратная к ней матрица существует.

Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы :

Запишем алгебраические дополнения транспонированно в матрицу

. Воспользуемся формулами (1.8) и (1.9) для нахождения решения системы

Вопросы для самопроверки.

1. Какая матрица называется вырожденной, невырожденной?

2. Какая матрица называется обратной для заданной? Каково условие ее существования?

3. Каков алгоритм нахождения обратной матрицы для заданной?

4. Какому матричному уравнению эквивалентна система линейных алгебраических уравнений?

5. Как решить систему линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы для главной матрицы системы?

Исследование неоднородных систем линейных алгебраических уравнений (схема 5)

Исследование любой системы линейных алгебраических уравнений начинается с преобразования ее расширенной матрицы методом Гаусса. Пусть размерность главной матрицы системы равна .

Матрица называется расширенной матрицей системы, если наряду с коэффициентами при неизвестных, она содержит столбец свободных членов. Следовательно, размерность равна .

Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях , к которым относятся:

– перестановка строк матрицы;

– умножение строк матрицы на отличное от руля число;

– поэлементное сложение строк матрицы;

– вычеркивание нулевой строки;

– транспонирование матрицы (в этом случае преобразования производятся по столбцам).

Элементарные преобразования приводят первоначальную систему к системе, ей эквивалентной. Системы называются эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Элементарные преобразования ранга матрицы не меняют.

На вопрос о наличии решений у неоднородной системы линейных уравнений отвечает следующая теорема.

Теорема 1.3 (теорема Кронекера-Капелли). Неоднородная система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу ее главной матрицы, т. е.

Обозначим количество строк, оставшихся в матрице после метода Гаусса, через (соответственно, в системе остается уравнений). Эти строки матрицы называются базисными .

Если , то система имеет единственное решение (является совместной определенной), ее матрица элементарными преобразованиями приводится к треугольному виду. Такую систему можно решить методом Крамера, с помощью обратной матрицы или универсальным методом Гаусса.

Если (количество переменных в системе больше чем уравнений), матрица элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду. Такая система имеет множество решений и является совместной неопределенной. В данном случае для нахождения решений системы необходимо выполнить ряд операций.

1. Оставить в левых частях уравнений системы неизвестных (базисные переменные ), остальные неизвестных перенести в правые части (свободные переменные ). После разделения переменных на базисные и свободные система принимает вид:

. (1.10)

2. Из коэффициентов при базисных переменных составить минор (базисный минор ), который должен быть отличен от нуля.

3. Если базисный минор системы (1.10) равен нулю, то одну из базисных переменных заменить на свободную; полученный базисный минор проверить на отличность от нуля.

4. Применяя формулы (1.6) метода Крамера, считая правые части уравнений их свободными членами, найти выражение базисных переменных через свободные в общем виде. Полученный при этом упорядоченный набор переменных системы является ее общим решением .

5. Придавая свободным переменным в (1.10) произвольные значения, вычислить соответствующие значения базисных переменных. Получаемый при этом упорядоченный набор значений всех переменных называется частным решением системы, соответствующим данным значениям свободных переменных. Система имеет бесконечное множество частных решений.

6. Получить базисное решение системы – частное решение, получаемое при нулевых значениях свободных переменных.

Заметим, что количество базисных наборов переменных системы (1.10) равно числу сочетаний из элементов по элементов . Так как каждому базисному набору переменных соответствует свое базисное решение, следовательно, базисных решений у системы также.

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет хотя бы одно – нулевое (тривиальное) решение. Для того чтобы однородная система линейных уравнений с переменными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю. Это означает, что ранг ее главной матрицы меньше числа неизвестных . В этом случае исследование однородной системы уравнений на общее и частные решения проводится аналогично исследованию неоднородной системы. Решения однородной системы уравнений обладают важным свойством: если известны два различных решения однородной системы линейных уравнений, то их линейная комбинация также является решением этой системы. Нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1.4. Общее решение неоднородной системы уравнений представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы уравнений

Пример 1.4.

Исследовать заданную систему и найти одно частное решение:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и применим к ней элементарные преобразования:

. Так как и , то по теореме 1.3 (Кронекера-Капелли) заданная система линейных алгебраических уравнений совместна. Количество переменных , т. е. , значит, система является неопределённой. Количество базисных наборов переменных системы равно

. Следовательно, базисными могут быть 6 комплектов переменных: . Рассмотрим один из них . Тогда систему, полученную в результате метода Гаусса, можно переписать в виде

. Главный определитель . С помощью метода Крамера ищем общее решение системы. Вспомогательные определители

По формулам (1.6) имеем

. Данное выражение базисных переменных через свободные представляет собой общее решение системы:

При конкретных значениях свободных переменных из общего решения получаем частное решение системы. Например, частное решение соответствует значениям свободных переменных . При получаем базисное решение системы

Вопросы для самопроверки.

1. Какая система уравнений называется однородной, неоднородной?

2. Какая матрица называется расширенной?

3. Перечислите основные элементарные преобразования матриц. Какой метод решения систем линейных уравнений основан на этих преобразованиях?

4. Что называется рангом матрицы? Каким способом можно его вычислить?

5. О чем говорит теорема Кронекера-Капелли?

6. К какому виду может быть приведена система линейных алгебраических уравнений в результате ее решения методом Гаусса? Что это означает?

7. Какие строки матрицы называются базисными?

8. Какие переменные системы называются базисными, какие свободными?

9. Какое решение неоднородной системы называется частным?

10.Какое ее решение называется базисным? Сколько базисных решений имеет неоднородная система линейных уравнений?

11.Какое решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений называется общим? Сформулируйте теорему об общем решении неоднородной системы уравнений.

12. Каковы основные свойства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений?

Матрицей размера m ? n называется прямоугольная таблица чисел, содержащих m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита (A,B,C…) , а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией:

Где i - номер строки, j - номер столбца.

Например, матрица

Или в сокращённой записи, A=(); i =1,2…, m ; j=1,2, …, n.

Используются другие обозначения матрицы например: , ? ?.

Две матрицы А и В одного размера называются равными , если они совпадают поэлементно,т.е. = , где i= 1, 2, 3, …, m , а j = 1, 2, 3, …, n.

Рассмотрим основные типы матриц:

1. Пусть m = n, тогда матрица А - квадратная матрица, которая имеет порядок n:

Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:

Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной , если все элементы главной диагонали равны 1:

Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.

Приведем примеры единичных матриц:

Квадратные матрицы

называются верхней и нижней треугольными соответственно.

2. Пусть m = 1, тогда матрица А - матрица-строка, которая имеет вид:
3. Пусть n =1, тогда матрица А - матрица-столбец, которая имеет вид:

4. Нулевой матрицей называется матрица порядка mn, все элементы которой равны 0:

Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.

5. Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается, если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы.

Пример . Пусть

Заметим, если матрица А имеет порядок mn , то транспонированная матрица имеет порядок nm .

6. Матрица А называется симметричной, если А=, и кососимметричной, если А = .

Пример . Исследовать на симметричность матрицы А и В .

следовательно, матрица А - симметричная, так как А = .

следовательно, матрица В - кососимметричная, так как В = - .

Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали

матрица квадратный лаплас аннулирование

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами : сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами .

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов . В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов :

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ : когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной , например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами .

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами :

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу) .

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок .

2) Действие второе. Умножение матрицы на число .

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО :

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать , мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка , то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка .

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы .

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц .

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы :

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов .

Пример:

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

Значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

Следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

>> Матрицы

4.1.Матрицы. Операции над матрицами

Прямоугольной матрицей размера mxn называется совокупность mxn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать ее в виде

или сокращенно в виде A = (a i j) (i = ; j = ), числа a i j , называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. A = (a i j) и B = (b i j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a i j = b i j .

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно -строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. A размера mxn, все элементы которой равны нулю, называются нулевой и обозначается через 0. Элементы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными и записываются так:

Если все элементы a i i диагонали равны 1, то она называется единичной и обозначается буквой Е:

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Если в (4.1) переставим строки со столбцами, то получим

которая будет транспонированной по отношению к А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением А на число b называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов А умножением на число b: b A = (b a i j).

Суммой А = (a i j) и B = (b i j) одного размера называется C = (c i j) того же размера, элементы которой определяются по формуле c i j = a i j + b i j .

Произведение АВ определяется в предположении, что число столбцов А равно числу строк В.

Произведением AB, где А = (a i j) и B = (b j k), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется С = (c i k), элементы которой определяются по следующему правилу:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Иначе говоря, элемент произведения AB определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца С равен сумме произведений элементов i-й строки А на соответствующие элементы k-го столбца В.

Пример 2.1. Найти произведение AB и .

Решение. Имеем: А размера 2x3, В размера 3x3, тогда произведение АВ = С существует и элементы С равны

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с 22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

, а произведение BA не существует.

Пример 2.2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М 1 , М 2 и М 3 , причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М 1 стоит 50 ден. ед., в магазин М 2 - 70, а в М 3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через
В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.

Пример 2.3. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т 1 , Т 2 , Т 3 , Т 4 . В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

	Расход ткани

Зимнее пальто
Демисезонное пальто

1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана?

2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.

3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т. е.,

тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:

Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор C T:

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина

X А P T =
.

Итак, X А C T + X А P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед).

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.